[Dune] order on geometry

[Andreas Dedner]

Hallo,
ich hoffe alle nicht in Berlin verbliebenen sind gut
nach Hause gekommen und alle in Berlin haben noch
einen schoenen Tag heute.
Wir hatten noch am Mi. abend noch eine laenge Diskussion
ueber Quadraturen und alles moegliche mit einem Ergebnisse,
was wir dann vergessen haben am Do. anzubringen.
Es betrifft den Punkt
Provide polynomial order of the geometry mapping

Wir muessen noch mal klaeren, was wir mit der
Methode erreichen wollen:
1) Summand fuer die Integrationsformel, d.h.
  wie viel hoeher muss ich die Ordnung der Quadratur waehlen,
  damit ich eine gegebene Funktion exakt integrtieren kann:
  hatp:hatT->R, p=hatp(F_T):T->R soll exakt integriert werden und
  ich kenne die richtige Ordnung fuer hatp, dann muss man sowas wie
  ordnung(hatp)+ordnung(det DF) nehmen. Das waere also ein Moeglicher
  Ordnungs Begriff.
  Der Unterschied ist, dass die Ordnung auf der Geometry nicht die
  Ordnung von F angibt sondern die Ordnung von DF.
2) Multiplikation von Gradienten mit DF^-T optimieren, d.h.
  die Information, dass DF Konstant ist. Das wird durch die
  Methode affine realisiert, die wir ja besprochen haben.
  Ich weiss nicht, ob man annehmen kann, dass aus
  ordnung(det DF)=0 folgt, dass DF konstant ist. Im allgemeinen
  stimmt das nicht (etwa F(x,y)=(x^2,y/x))

Aus der Ordnung von F bekomme ich beide Informationen nicht.
So hat etwa F(x.y)=(x^2,y^2) die Ordnung 2 und
det DF(x,y)=4xy auch die Ordnung 2 (fuer Referenzsimplex), d.h.
ich brauche zwei Zusaetzliche Ordnungen fuer die Quadratur.
Bei F(x,y)=(x(y+1),y) (Ordnung 2), ist det DF(x,y)=y+1
also Ordnung 1.
Ich denke also wir brauchen affine() und die
Ordnung von det DF, wobei wahrscheinlich fuer Simplex die
Ordnung in P und fuer Cubes die Ordnung in Q genommen werden
sollte.
Ob man die Ordnung von F oder DF getrennt haben will (etwa
Ordnungs zuwachs durch Gradiententransformation, sollte man
besprechen, eventuell braucht man die Methode auch noch...
Gruss Andreas